Hilbert空间

我们仅需证明第一条结论，第二条结论是第一条的直接推论。 由于$(x_n)\to x$，存在正数$M$使得$\Vert x_n\Vert \le M$对所有自然数$n$成立。 因此对于任意正数$ϵ$，存在$n_1,n_2\in \mathbb{N}$，使得$\Vert x_n-x\Vert <ϵ/2\Vert y\Vert$对所有$n\ge n_1$成立、$\Vert y_n-y\Vert <ϵ/2M$对所有$n\ge n_2$成立。 取$n_0=\max \left\{n_1,n_2\right\}$，利用三角不等式和Cauchy-Schwarz不等式，

对所有$n\ge n_0$成立，因此$⟨x_n,y_n⟩\to ⟨x,y⟩$。

前两条结论是命题 1.12的直接结果。 对于第三条结论，设$(x_n)$是有限维子空间$S$中收敛到$x$的序列且$x\notin S$。 设$\mathcal{B}=\left\{b_1,\cdots ,b_m\right\}$是$S$的一组标准正交Hamel基，那么$x$的Fourier展开$\hat{x}={\sum }_{i=1}^m⟨x,b_i⟩b_i\in S$。 根据定理 5.9，$(x-\hat{x})\perp S$但$x\ne \hat{x}$。 因此，如果记$y_n=x_n-\hat{x}\in S,y=x-\hat{x}\perp y_n$，我们有${\Vert y_n-y\Vert }^2={\Vert y_n\Vert }^2+{\Vert y\Vert }^2\ge {\Vert y\Vert }^2>0$，这与$(x_n)\to x$矛盾。 因此$x\in S$，即$S$是闭集。 根据定理 1.14，$S$内任意Cauchy列$(x_n)$收敛到某个内积空间内的向量$x$。 由于$S$是闭集，$x\in S$，故$S$完备。

当$x\in S$时，显然$\Vert x-\hat{x}\Vert =0$当且仅当$\hat{x}=x$唯一，该情形是平凡的； 当$x\notin S$时，记$\delta ={\inf }_{s\in S}\Vert x-s\Vert \in \mathbb{R}$，那么对于任意自然数$n$，存在存在$s_n\in S$使得$\delta \le {\delta }_n=\Vert x-s_n\Vert <\delta +1/n$，可见${\delta }_n\to \delta$。 因此存在正数$M$使得$\left|{\delta }_n\right|<M$对所有自然数$n$成立。 对于任意正数$ϵ$，存在自然数$n_0$使得$\left|{\delta }_n-\delta \right|<ϵ/4(\delta +M)$对所有$n\ge n_0$成立。 记$y_n=x-s_n$，那么根据平行四边形法则（命题 5.2）,

对任意自然数$n,m$成立。 由于$S$是凸集，$(s_n+s_m)/2\in S$，从而${\Vert y_n+y_m\Vert }^2=4{\Vert x-(s_n+s_m)/2\Vert }^2\ge 4{\delta }^2$，即

对所有$n,m\ge n_0$成立，可见$(s_n)$是$S$内的一条Cauchy列，其收敛到某个$\hat{x}\in S$。 利用范数的连续性（命题 8.1），

最后证明$\hat{x}$的唯一性。 设存在${\hat{x}}^{\prime }\in S$使得$\Vert x-{\hat{x}}^{\prime }\Vert =\delta =\Vert x-\hat{x}\Vert$，则根据平行四边形法则（命题 5.2），

上式成立当且仅当$\Vert \hat{x}-{\hat{x}}^{\prime }\Vert =0$，即${\hat{x}}^{\prime }=\hat{x}$。

若存在$\hat{x}\in S$使得$(x-\hat{x})\perp S$，那么$⟨x-\hat{x},\hat{x}-s⟩=0$对任意$s\in S$成立，进而

即$\Vert x-s\Vert \ge \Vert x-\hat{x}\Vert$对任意$s\in S$成立，故$\hat{x}$是$x$的在最佳逼近。 根据定理 8.1，存在唯一的$\hat{x}\in S$使得$\Vert x-\hat{x}\Vert ={\inf }_{s\in S}\Vert x-s\Vert =\delta$。 对于任意$s\in S$和$r\in F$，首先有

因此当$r$取$r_0=⟨x,s⟩/{\Vert s\Vert }^2$时上式第二项为零，此时

这要求${\left|⟨x-\hat{x},s⟩\right|}^2\le 0$，即$⟨x-\hat{x},s⟩=0$对所有$s\in S$成立，故$(x-\hat{x})\perp S$。 根据前述讨论，若存在${\hat{x}}^{\prime }\in S$使得$(x-{\hat{x}}^{\prime })\perp S$，那么${\hat{x}}^{\prime }$也是$x$的最佳逼近。 利用最佳逼近的唯一性（定理 8.1），${\hat{x}}^{\prime }=\hat{x}$。

对于任意$v\in V$，根据定理 8.1和定理 8.2，存在$\hat{v}\in S$使得$(v-\hat{v})\perp S$，因此$v=\hat{v}+(v-\hat{v})\in S\odot S^{\perp }$，即$V\subseteq S\odot S^{\perp }\subseteq V$，最终得到$V=S\odot S^{\perp }$。

1. $T\perp S$意味着$T\subseteq S^{\perp }$。 对于任意$v\in S^{\perp }\subseteq V$，存在$s\in S$和$t\in T$使得$v=s+t$，进而

   $$0=⟨v,s⟩=⟨s,s⟩⟹s=0⟹v=t\in T,$$

   (8.2.9)

   从而$S^{\perp }\subseteq T$，反向包含得证；

2. 根据上述结果，$T=S^{\perp }=T^{\prime }$、

容易证明$\mathrm{cspan}(A{)}^{\perp }\subseteq A^{\perp }$； 对于任意$v\in A^{\perp }$和任意$u\in \mathrm{cspan}(A)$，存在$a_1,\cdots ,a_n\in A$和$r_1,\cdots ,r_n\in F$使得$u={\sum }_{i=1}^n{r}_i{a}_i$，进而$⟨u,v⟩={\sum }_{i=1}^n{r}_i⟨a_i,v⟩=0$，即$A^{\perp }\subseteq \mathrm{cspan}(A{)}^{\perp }$。 因此$\mathrm{cspan}(A{)}^{\perp }=A^{\perp }$。 根据投影定理 8.3，$\mathrm{cspan}(A)$是$V$的子空间意味着$V=\mathrm{cspan}(A)\odot \mathrm{cspan}(A{)}^{\perp }=\mathrm{cspan}(A)\odot A^{\perp }$； 而$A^{\perp }$是$V$的子空间意味着$V=A^{\perp }\odot A^{\perp \perp }$。 根据命题 8.3，$A^{\perp \perp }=\mathrm{cspan}(A)$。

设$s_n={\sum }_{k=1}^n{r}_k{u}_k,p_n={\sum }_{k=1}^n{\left|r_k\right|}^2$，那么对于自然数$m\le n$，${\Vert s_n-s_m\Vert }^2={\Vert {\sum }_{k=m+1}^n{r}_k{u}_k\Vert }^2={\sum }_{k=m+1}^n{\left|r_k\right|}^2=\left|p_n-p_m\right|$。 因此$(s_n)$是$H$内的Cauchy列当且仅当$(p_n)$是$\mathbb{R}$内的Cauchy列。 由于$H$和$\mathbb{R}$均完备（定理 1.14），$(s_n)$收敛当且仅当$(p_n)$收敛，此时级数重排不影响${\sum }_{k=1}^{\infty }{\left|r_k\right|}^2$的结果。

对于任意$y\in \mathrm{cspan}(\mathcal{O})$，存在$r_{i_k}\in F$使得$y={\sum }_{k=1}^n{r}_{i_k}{u}_{i_k}$，因此

即$(x-\hat{x})\perp \mathrm{cspan}(\mathcal{O})$。 根据定理 8.2，$\hat{x}$是$x$在$\mathrm{cspan}(\mathcal{O})$内的最佳逼近，并且由于$\hat{x}\in \mathrm{cspan}(\mathcal{O})$，

等号成立当且仅当$\Vert x-\hat{x}\Vert =0$，即$x=\hat{x}\in \mathrm{cspan}(\mathcal{O})$。 另外，${\Vert x\Vert }^2\ge {\Vert \hat{x}\Vert }^2\ge {\Vert {\sum }_{k=1}^n⟨x,u_k⟩u_k\Vert }^2={\sum }_{k=1}^n{\left|⟨x,u_k⟩\right|}^2$对所有自然数$n$成立。 利用$\mathbb{R}$上极限的单调性（定理 1.15），${\sum }_{k=1}^{\infty }{\left|⟨x,u_k⟩\right|}^2={\lim }_n{\sum }_{k=1}^n{\left|⟨x,u_k⟩\right|}^2\le {\Vert x\Vert }^2$，故级数${\sum }_{k=1}^{\infty }{\left|⟨x,u_k⟩\right|}^2$收敛。 根据定理 8.5，级数${\sum }_{k=1}^{\infty }⟨x,u_k⟩u_k$无条件收敛。

1. 若表述1成立，假设${\mathcal{O}}^{\perp }$存在其他非零向量$v$，则$\mathcal{O}\cup \left\{v\right\}$构成新的标准正交集，但这与$\mathcal{O}$的极大性矛盾。 故${\mathcal{O}}^{\perp }=\left\{0\right\}$，表述2成立；

2. 若表述2成立，则根据投影定理 8.3和命题 8.4的证明，$H=\mathrm{cspan}(\mathcal{O})\odot \mathrm{cspan}(\mathcal{O}{)}^{\perp }=\mathrm{cspan}(\mathcal{O})\odot {\mathcal{O}}^{\perp }=\mathrm{cspan}(\mathcal{O})\odot \left\{0\right\}=\mathrm{cspan}(\mathcal{O})$，表述3成立；

3. 若表述3成立，根据定理 8.2和定理 8.7，$(x-\hat{x})\perp H$。 假设$v=x-\hat{x}\in H$非零，则$⟨v,v⟩\ne 0$，这与$v\perp H$矛盾。 因此$x=\hat{x}$，表述4成立；

4. 若表述4成立，则表述5显然成立；

5. 若表述5成立，则在实内积空间中，利用极化恒等式（定理 5.2）和命题 8.6，

   $$\begin{array}{rl}⟨x,y⟩& =\frac{1}{4}\left({\Vert x+y\Vert }^2-{\Vert x-y\Vert }^2\right)=\frac{1}{4}\left({\Vert \sum _{k\in K}⟨x+y,u_k⟩u_k\Vert }^2-{\Vert \sum _{k\in K}⟨x-y,u_k⟩u_k\Vert }^2\right)\\ & =\frac{1}{4}\left(\sum _{k\in K}{\left|⟨x+y,u_k⟩\right|}^2-\sum _{k\in K}{\left|⟨x-y,u_k⟩\right|}^2\right)=\frac{1}{4}\sum _{k\in K}({\left|⟨x+y,u_k⟩\right|}^2-{\left|⟨x-y,u_k⟩\right|}^2)\\ & =\frac{1}{2}\sum _{k\in K}(⟨x,u_k⟩⟨y,u_k⟩+⟨y,u_k⟩⟨x,u_k⟩)=\sum _{k\in K}⟨x,u_k⟩\overline{⟨y,u_k⟩}=⟨\hat{x},\hat{y}⟩,\end{array}$$

   (8.3.1)

   其中已利用实向量空间中内积的对称性。 复向量空间的情形类似可证明，因此表述6成立；

6. 若表示6成立，假设存在标准向量$v\in H$使得$v\in {\mathcal{O}}^{\perp }$，那么根据定理 8.2和定理 8.7，$v-\hat{v}\in {\mathcal{O}}^{\perp }$。 利用子空间的代数封闭性，$\hat{v}\in {\mathcal{O}}^{\perp }=\mathrm{cspan}(\mathcal{O}{)}^{\perp }$； 但同时$\hat{v}\in \mathrm{cspan}(\mathcal{O})$，因此$\hat{v}=0$。 这意味着$⟨v,v⟩=⟨\hat{v},\hat{v}⟩=0$，即$v=0$，矛盾。 因此$\mathcal{O}$为极大标准正交向量族，表述1成立。

对于有限维情形，根据定理 5.8，所有的Hilbert基都具有相同的基数$\dim (H)$； 对于无穷维情形，设$\mathcal{B}=\left\{b_k|k\in K\right\}$和$\mathcal{C}=\left\{c_j|j\in J\right\}$为$H$的Hilbert基。 那么根据定理 8.8，$H=\mathrm{cspan}(\mathcal{C})$，这意味着存在可数指标集$J_k$和$r_j\in F$使得$b_k={\sum }_{j\in J_k}{r}_j{c}_j$。 对于任意$j\in J_k$，$⟨b_k,c_j⟩={\sum }_{j^{\prime }\in J_k}{r}_{j^{\prime }}⟨c_{j^{\prime }},c_j⟩=r_j$，因此$b_k={\sum }_{j\in J_k}⟨b_k,c_j⟩c_j$。 若存在某个$c_j\perp \mathcal{B}$，则$\mathcal{B}\cup \left\{c_j\right\}$也是标准正交向量族，这与$\mathcal{B}$的极大性矛盾，因此必然存在$k\in K$使得$j\in J_k$。 这意味着$J\subseteq {\cup }_{k\in K}{J}_k\subseteq J$，即$J={\cup }_{k\in K}{J}_k$。 根据命题 1.4和命题 1.6以及${\aleph }_0$是最小无穷势的事实，$\left|J\right|\le {\aleph }_0\cdot \left|K\right|=\max \left\{{\aleph }_0,\left|K\right|\right\}=\left|K\right|$。 对称地$\left|K\right|\le \left|J\right|$，那么Schrödinger-Berstein定理（定理 1.2）给出$\left|J\right|=\left|K\right|$。

设两个Hilbert空间分别为$H_1$和$H_2$，$\mathcal{B}=\left\{b_k|k\in K\right\}$为$H_1$的一组Hilbert基，那么${\mathcal{B}}^{\perp }=\left\{0\right\}$。 对于充分性，设等距同构为$\tau$，考虑$v\in (\tau \mathcal{B}{)}^{\perp }=\mathrm{cspan}(\tau \mathcal{B}{)}^{\perp }$，$⟨v,b_k⟩=0$对所有$k\in K$成立，因此存在有限指标集$K_v$和$r_k\in F$，使得${\tau }^{-1}v={\sum }_{k\in K_v}{r}_k{b}_k$，即$v={\sum }_{k\in K_v}{r}_k(\tau b_k)\in \mathrm{cspan}(\tau \mathcal{B})$。 这意味着$v=0$，即$(\tau \mathcal{B}{)}^{\perp }=\left\{0\right\}$，因此$\tau \mathcal{B}$是$H_2$的Hilbert基，双射要求$\left|\mathcal{B}\right|=\left|\tau \mathcal{B}\right|$。 对于必要性，设$\mathcal{C}=\left\{c_j|j\in J\right\}$为$H_2$的一组Hilbert基，则$\left|J\right|=\left|K\right|$，即存在双射使得对于任意$j\in J$，存在唯一的$k\in K$与之对应。 定义双射$\tau :\mathcal{C}\to \mathcal{B}$为$\tau (c_j)=b_k$，并通过线性性将其定义域延拓到$H_2$上。 那么根据定理 8.8，对于任意$v\in H_2$，

根据定理 5.4，$\tau$为等距映射，进而为等距同构。

首先利用范数的线性性，$\Vert \tau \Vert ={\sup }_{x\ne 0}\Vert \tau (x/\Vert x\Vert )\Vert \stackrel{x/\Vert x\Vert \to x}{=}{\sup }_{\Vert x\Vert =1}\Vert \tau x\Vert$，因此$\Vert \tau \Vert \le {\sup }_{\Vert x\Vert \le 1}\Vert \tau x\Vert$。 容易验证该上确界不在$x=0$处取到（对于零映射，任取$x\ne 0$），$\Vert \tau x\Vert =\Vert \tau (x/\Vert x\Vert )\Vert \cdot \Vert x\Vert \le \Vert \tau \Vert \cdot 1$，因此${\sup }_{\Vert x\Vert \le 1}\Vert \tau x\Vert \le \Vert \tau \Vert$。 综上，$\Vert \tau \Vert ={\sup }_{\Vert x\Vert \le 1}\Vert \tau x\Vert$。 最后记$\delta =\inf \left\{c\in \mathbb{R}|\Vert \tau x\Vert \le c\Vert x\Vert \text{for all }x\in H\right\}$，显然$\Vert \tau x\Vert /\Vert x\Vert =\Vert \tau (x/\Vert x\Vert )\Vert \le \Vert \tau \Vert$对任意$x\in H\backslash \left\{0\right\}$成立，故$\delta \le \Vert \tau \Vert$； 另一方面 对于任意正数$ϵ$，存在$c\in \mathbb{R}$使得$\delta +ϵ>c\ge \Vert \tau x\Vert /\Vert x\Vert$对所有$x\in H$成立，故$\delta +ϵ\ge {\sup }_{\Vert x\Vert =1}\Vert \tau x\Vert =\Vert \tau \Vert \ge \delta$。 利用$ϵ$的任意性，$\Vert \tau \Vert =\delta$。

若$\tau$有界，那么对于任意$x,y\in H_1$，$\Vert \tau x-\tau y\Vert =\Vert \tau (x-y)\Vert \le \Vert \tau \Vert \Vert x-y\Vert$。 因此对于任意正数$ϵ$，当$\Vert x-y\Vert <ϵ/\Vert \tau \Vert$时，$\Vert \tau x-\tau y\Vert <ϵ$，因此根据命题 1.17，$\tau$连续； 反之若$\tau$连续，则根据命题 1.17，存在$\delta >0$使得$\Vert y\Vert \le \delta$时$\Vert \tau y\Vert \le 1$。 那么对于任意满足$\Vert x\Vert =1$的$x\in H_1$，$\Vert \tau x\Vert =\Vert \tau (\delta x)\Vert /\delta \Vert x\Vert \le 1/\delta \Vert x\Vert =1/\delta$，因此$\Vert \tau \Vert ={\sup }_{\Vert x\Vert =1}\Vert \tau x\Vert \le 1/\delta$，即$\tau$有界。

若$f=0$，取$z_0=0$即可。 对于非零的$f$，记$K=\ker (f)\ne H$。 根据命题 8.8，$f$连续，因此对于$K$中任意收敛到$x\in H$的序列$(x_n)$，均有$f(x)={\lim }_{n}f(x_n)=0$，因此$x\in K$，即$K$为闭集。 根据投影定理 8.3，$J=K\odot K^{\perp }$。 根据第一同构定理 4.4以及命题 4.1之前的讨论，$V/K\cong \mathrm{im}(f)=F$； 再根据推论 3.2和推论 4.1，$K^{\perp }\cong V/K\cong F$，因此$\dim (K^{\perp })=\dim (F)=1$。 显然$⟨x,z⟩=0=f(x)$对任意$x\in K$成立当且仅当$z\in K^{\perp }$，因此我们希望限制在在$K^{\perp }$上找到一个合适的$z_0$，同时使得$f(x)=⟨x,z_0⟩$对任意$x\in K^{\perp }$也成立。 由于$\dim (K^{\perp })=1$，任意非零的$z\in K^{\perp }$均为作为基。 首先希望$f(z_0)=⟨z_0,z_0⟩$，由此定义了$z_0$的范数。 对于任意$x\in K^{\perp }$，存在唯一的$r\in F$使得$x=r{z}_0$，因此$f(x)=rf(z_0)=r⟨z_0,z_0⟩=⟨r{z}_0,z_0⟩=⟨x,z_0⟩$。 综上，对于任意$x\in H$，存在$r=⟨x,z_0⟩/⟨z_0,z_0⟩\in F$使得$⟨x-r{z}_0,z_0⟩=0$，因此$x=(x-r{z}_0)+r{z}_0\in K\odot K^{\perp }$，进而

若存在$z_0^{\prime }\in H$也使得$f(x)=⟨x,z_0^{\prime }⟩$对所有$x\in H$成立，那么$0=f(x)-f(x)=⟨x,z_0-z_0^{\prime }⟩$对所有$x\in H$成立，即$z_0^{\prime }=z_0$，故$z_0$唯一。 最后，利用Cauchy-Schwarz不等式，$\left|f(x)\right|/\Vert x\Vert =\left|⟨x,z_0⟩\right|/\Vert x\Vert \le \Vert z_0\Vert$，等号成立当且仅当$x\in K^{\perp }$，那么$\Vert f\Vert \le \Vert z_0\Vert$； 另一方面，$\Vert z_0\Vert =\left|f(z_0)\right|/\Vert z_0\Vert \le \Vert f\Vert$，因此$\Vert f\Vert =\Vert z_0\Vert$。