Schatten范数

当$1\le p<\infty$时，根据定理 B.1，任意算子$A$都存在奇异值分解$A=P\Sigma Q^{\ast }$，其中$\Sigma =\text{diag}(s_1,\cdots ,s_r)$且$Q=(v_1,\cdots ,v_m)$。 结合第第 B.1 节节的讨论，$v_i$是$A^{\ast }A=Q{\Sigma }^2{Q}^{\ast }$的本征向量，因此其存在谱分解$A^{\ast }A={\sum }_{i=1}^m{s}_i^2{v}_i{v}_i^{\ast }$。 根据第第 7.4 节节对于算子函数定义的讨论与命题 6.3，

可见${\Vert A\Vert }_p=({\sum }_{i=1}^r{s}_i^p{)}^{1/p}={\Vert s(A)\Vert }_p$，这里$s(A)$表示$A$的奇异值构成的$r$-元组。 当$p=\infty$时，设$P=(u_1,\cdots ,u_n)$，那么将任意向量$u\in {\mathbb{F}}^n$表示为${\sum }_i{r}_i{u}_i$，其中${\sum }_i{\left|r_i\right|}^2={\Vert u\Vert }_2^2\le 1$。 因此${\Vert Au\Vert }_2^2={\Vert {\sum }_i{r}_{i}A{u}_i\Vert }_2^2={\Vert {\sum }_i{r}_i{s}_i{v}_i\Vert }_2^2={\sum }_i\left|r_i\right|s_i^2\le {\max }_i{s}_i^2$对所有$u$成立，因此${\Vert A\Vert }_{\infty }\le s_1$（此处$s_i$按非增顺序排列）； 另一方面，${\Vert A{u}_1\Vert }_2=\Vert s_1{v}_1\Vert =s_1$，因此${\Vert A\Vert }_{\infty }\ge s_1$。 综上，${\Vert A\Vert }_{\infty }={\max }_i{s}_i={\Vert s(A)\Vert }_{\infty }$。

设$A$和$B$的奇异值分解分别为$P_1{\Sigma }_1{Q}_1^{\ast }$和$P_2{\Sigma }_2{Q}_2^{\ast }$。 记幺正算子$P=P_2^{\ast }{P}_1,Q=Q_2^{\ast }{Q}_1$，那么

因此$\left|⟨A,B⟩\right|\le {\sum }_{i,j}\left|P_{j,i}\right|\left|Q_{j,i}\right|s_i{t}_j\le {\sum }_{i,j}({\left|P_{j,i}\right|}^2+{\left|Q_{j,i}\right|}^2)s_i{t}_j/2$。 我们希望证明${\sum }_{i,j}{\left|P_{j,i}\right|}^2{s}_i{t}_j\le {\sum }_{i,j}{\delta }_{i,j}{s}_i{t}_j$。 由于$P$幺正，${\sum }_{i\le k}{\left|P_{j,i}\right|}^2\le {\sum }_i{\left|P_{j,i}\right|}^2=1$和${\sum }_{j\le l}{\left|P_{j,i}\right|}^2\le {\sum }_j{\left|P_{j,i}\right|}^2=1$对所有$i,j,k,l$成立，因此${\sum }_{i\le k}{\sum }_{j\le l}{\left|P_{j,i}\right|}^2\le \min \left\{k,l\right\}$。 对于任意$i\in \left\{1,\cdots ,a\right\}$和$j\in \left\{1,\cdots ,b\right\}$，定义${\xi }_i=s_i-s_{i+1}\ge 0,{\eta }_j=t_j-t_{j+1}\ge 0$，即$s_i={\sum }_{k\ge i}{\xi }_k,t_j={\sum }_{l\ge j}{\eta }_l$，从而

因此${\sum }_{i,j}{\left|P_{j,i}\right|}^2{s}_i{t}_j\le {\sum }_i{s}_i{t}_i$，类似地${\sum }_{i,j}{\left|Q_{j,i}\right|}^2{s}_i{t}_j\le {\sum }_i{s}_i{t}_i$，故结论得证。

1. 根据命题 C.1和定理 14.4，${\Vert A\Vert }_q={\Vert s(A)\Vert }_q\le {\Vert s(A)\Vert }_p={\Vert A\Vert }_p\le \mathrm{rank}(A{)}^{(q-p)/qp}{\Vert A\Vert }_q$；

2. 根据命题 C.1和奇异值分解，$A$左乘和右乘幺正算符并不影响其奇异值，从而范数不变；

3. 我们先证明Hölder不等式。 根据von Neumann迹不等式（引理 C.1）、Hölder不等式（定理 14.2）和命题 C.1，$\left|⟨A,B⟩\right|\le {\Vert s(A)\Vert }_p{\Vert s(B)\Vert }_{p^{\ast }}={\Vert A\Vert }_p{\Vert B\Vert }_{p^{\ast }}$。 当${\Vert B\Vert }_{p^{\ast }}\le 1$时，$\left|⟨A,B⟩\right|\le {\Vert A\Vert }_p$恒成立，因此

   $$\sup \left\{\left|⟨A,B⟩\right||B\in \mathcal{L}({\mathbb{F}}^n,{\mathbb{F}}^m),{\Vert B\Vert }_{p^{\ast }}\le 1\right\}\le {\Vert A\Vert }_p.$$

   (C.2.4)

   反之我们希望找到一个$B_0\in \mathcal{L}({\mathbb{F}}^n,{\mathbb{F}}^m)$使得$\left|\mathrm{Tr}(B_0^{\ast }A)\right|={\Vert A\Vert }_p=[\mathrm{Tr}({\left|A\right|}^p){]}^{1/p}$在${\Vert B_0\Vert }_{p^{\ast }}\le 1$时成立。 当$1<p<\infty$时，对比$\mathrm{Tr}(\cdot )$中的项，不妨设$B_0=cA{\left|A\right|}^{p-2}$，其中算子指数的定义参考第第 7.4 节节，常数$c$可由下式确定：

   $$\begin{array}{rl}1& ={\Vert B_0\Vert }_{p^{\ast }}={\left[\mathrm{Tr}({\left|B_0\right|}^{p^{\ast }})\right]}^{1/p^{\ast }}=\left|c\right|{\left\{\mathrm{Tr}[{\left({\left|A\right|}^{p-1}\right)}^{p/(p-1)}]\right\}}^{1-1/p}=\left|c\right|{\Vert A\Vert }_p^{p-1}.\end{array}$$

   (C.2.5)

   取$c={\Vert A\Vert }_p^{1-p}$，则$\left|\mathrm{Tr}(B_0^{\ast }A)\right|={\Vert A\Vert }_p^{1-p}\cdot [\mathrm{Tr}\left({\left|A\right|}^p\right)]={\Vert A\Vert }_p$，因此反向不等式成立。 当$p=1$时，设$A$的奇异值分解为$P\Sigma Q^{\ast }$，那么取$B_0=P{Q}^{\ast }$，使得$\mathrm{Tr}(B_0^{\ast }A)=\mathrm{Tr}(Q{P}^{\ast }P\Sigma Q^{\ast })=\mathrm{Tr}(\Sigma )=\mathrm{Tr}\sqrt{(Q\Sigma Q^{\ast }{)}^2}={\Vert A\Vert }_1$，因此反向不等式成立。 当$p=\infty$时，设$A$的最大奇异值$s_1$对应的左右奇异向量分别为$v_1$和$u_1$，那么根据定理 B.1和命题 C.1，取$B_0=u_1{v}_1^{\ast }$，使得$\mathrm{Tr}(B_0^{\ast }A)=\mathrm{Tr}(u_1{v}_1^{\ast }A)=v_1^{\ast }A{u}_1=s_1{v}_1^{\ast }{v}_1=s_1={\Vert s(A)\Vert }_{\infty }={\Vert A\Vert }_{\infty }$，因此反向不等式成立。 综上，该结论成立；

4. 我们先证明一个引理： $s_i(AB)\le {\Vert B\Vert }_{\infty }{s}_i(A)$。 设$B$的奇异值$s_i$对应的左奇异向量为$v_i$，则$B{B}^{\ast }={\sum }_i{s}_i{v}_i{v}_i^{\ast }$，进而${\Vert B\Vert }_{\infty }^2\mathrm{id}-B{B}^{\ast }={\sum }_i(s_1^2-s_i^2)v_i{v}_i^{\ast }\ge 0$； 这意味着$(AB)(A{B}^{\ast })\le {\Vert B\Vert }_{\infty }^{2}A{A}^{\ast }$对任意$A\in \mathcal{L}({\mathbb{F}}^n,{\mathbb{F}}^m)$成立。 由于$A$的奇异值恰好为$A{A}^{\ast }$或$A^{\ast }A$本征值的正平方根，上式给出$s_i(AB)\le {\Vert B\Vert }_{\infty }{s}_i(A)$。 因此，该引理和命题 C.1表明，当$1\le p<\infty$时，${\Vert AB\Vert }_p={\Vert s(AB)\Vert }_p=({\sum }_i{s}_i(AB{)}^p{)}^{1/p}\le {\Vert B\Vert }_{\infty }({\sum }_i{s}_i(A{)}^p{)}^{1/p}={\Vert B\Vert }_{\infty }{\Vert A\Vert }_p$； 当$p=\infty$时，$s_i(AB)\le {\Vert B\Vert }_{\infty }{s}_i(A)\le {\Vert B\Vert }_{\infty }{\Vert A\Vert }_{\infty }$对所有$i$成立，因此${\Vert AB\Vert }_{\infty }={\Vert s(AB)\Vert }_{\infty }={\sup }_i{s}_i(AB)\le {\Vert B\Vert }_{\infty }{\Vert A\Vert }_{\infty }$。 综上，${\Vert AB\Vert }_p\le {\Vert B\Vert }_{\infty }{\Vert A\Vert }_p$对所有$1\le p\le \infty$成立； 对称地，${\Vert AB\Vert }_p\le {\Vert A\Vert }_{\infty }{\Vert B\Vert }_p$。 根据此结论和性质1，${\Vert AB\Vert }_p\le {\Vert A\Vert }_p{\Vert B\Vert }_{\infty }\le {\Vert A\Vert }_p{\Vert B\Vert }_p$；

5. 根据性质3，${\Vert A^{\ast }\Vert }_p=\sup \{\left|⟨A^{\ast },B⟩\right||{\Vert B\Vert }_{p^{\ast }}\le 1\}=\sup \{\left|B^{\ast },A\right||{\Vert B^{\ast }\Vert }_{p^{\ast }}\le 1\}={\Vert A\Vert }_p$。 设$A$的奇异值$s$对应的右奇异向量为$u$，那么$(A^{\ast }A)u=s^{2}u$，逐分量表示为$s^2{u}_i=(A^{\ast }Au{)}_i={\sum }_j(A^{\ast }A{)}_{i,j}{u}_j$。 由于$\overline{(A^{\ast }A{)}_{i,j}}={\sum }_k\overline{(A^{\ast }{)}_{i,k}}\cdot \overline{A_{k,j}}={\sum }_k{A}_{k,i}\overline{A_{k,j}}=({\bar{A}}^{\ast }\bar{A}{)}_{i,j}$，那么对其取复共轭可得$s^2\overline{u_i}={\sum }_{i,j}\overline{(A^{\ast }A{)}_{i,j}}\overline{u_j}=({\bar{A}}^{\ast }\overline{A}\bar{u}{)}_i$，即$s$也是${\bar{A}}^{\ast }\bar{A}$的奇异值。 根据命题 C.1，${\Vert \bar{A}\Vert }_p={\Vert s(\bar{A})\Vert }_p={\Vert s(A)\Vert }_p={\Vert A\Vert }_p$，进而${\Vert A^T\Vert }_p={\Vert (\bar{A}{)}^{\ast }\Vert }_p={\Vert A\Vert }_p$。

根据命题 C.2性质3，对于任意正数$ϵ$，存在$C\in \mathcal{L}({\mathbb{F}}^n,{\mathbb{F}}^m)$，使得${\Vert C\Vert }_{p^{\ast }}\le 1$且${\Vert A+B\Vert }_p-ϵ<\left|⟨A+B,C⟩\right|=\left|⟨A,C⟩+⟨B,C⟩\right|\le \left|⟨A,C⟩\right|+\left|⟨B,C⟩\right|\le {\Vert A\Vert }_p+{\Vert B\Vert }_p$。 利用$ϵ$的任意性，${\Vert A+B\Vert }_p\le {\Vert A\Vert }_p+{\Vert B\Vert }_p$成立。