正规算子的结构理论

我们首先寻找满足条件的线性映射${\tau }^{\ast }:W\to V$。 若${\tau }^{\ast }w$存在，则其形式上接近将任意$v\in V$映射到$⟨\tau v,w⟩$的线性泛函。 根据Riesz表示定理 5.11，任何线性泛函均可用Riesz向量表示。 具体地，对于每个$w\in W$，定义线性泛函$f_w\in V^{\ast }$为$f_{w}v=⟨\tau v,w⟩$。 那么根据Riesz表示定理 5.11，存在Riesz向量$R_{f_w}\in V$使得$f_{w}v=⟨v,R_{f_w}⟩$。 记Riesz映射为$R$，那么定义线性变换${\tau }^{\ast }:W\to V$为

其线性性源于Riesz映射的线性性。 最后验证其唯一性： 假设存在满足条件的另一线性变换$\sigma :W\to V$，则$⟨v,({\tau }^{\ast }-\sigma )w⟩=0$对所有$v,w\in V$成立，即$({\tau }^{\ast }-\sigma )w=0$对所有$w\in V$成立，因此$\sigma ={\tau }^{\ast }$。

我们仅证明最后两条性质。 若$S$是$\tau$-不变的，那么对于任意$v\in S$和$w\in S^{\perp }$，$\tau v\in S$，因此

反之若$S^{\perp }$是${\tau }^{\ast }$不变的，类似可证明该结论。 若$(S,S^{\perp })$约化$\tau$，那么对于任意$v\in S$和$w\in S^{\perp }$，$\tau v\in S$且$\tau w\in S^{\perp }$，进而

反之若$S^{\perp }$是$\tau$-不变且${\tau }^{\ast }$-不变的，那么$0=⟨{\tau }^{\ast }w,v⟩=⟨w,\tau v⟩$，即$\tau v\in S^{\perp \perp }=S$（命题 5.5）对所有$v\in S$成立，因此$S$是$\tau$-不变的。 对于后一论述，考虑$s,t\in S$，有

利用引理 5.1，$({\tau }^{\ast }){|}_{S}t=(\tau {|}_S{)}^{\ast }t$对所有$t\in S$成立，故$({\tau }^{\ast }){|}_S=(\tau {|}_S{)}^{\ast }$。

1. 根据定义，

   $$\begin{array}{rl}\ker ({\tau }^{\ast })& =\left\{u\in V|{\tau }^{\ast }u=0\right\}=\left\{u\in V|⟨\tau V,u⟩=⟨V,{\tau }^{\ast }u⟩=\left\{0\right\}\right\}\\ & =\left\{u\in V|u\in \mathrm{im}(\tau {)}^{\perp }\right\}=\mathrm{im}(\tau {)}^{\perp }.\end{array}$$

   (7.1.6)

   根据命题 5.5，$\ker ({\tau }^{\ast }{)}^{\perp }\subseteq \mathrm{im}(\tau {)}^{\perp \perp }=\mathrm{im}(\tau )$，并且$\mathrm{im}(\tau )\subseteq \ker ({\tau }^{\ast }{)}^{\perp }$，故$\mathrm{im}({\tau }^{\ast })=\ker (\tau {)}^{\perp }$；

2. 显然$\ker (\tau )\subseteq \ker ({\tau }^{\ast }\tau )$； 对于任意$v\in \ker ({\tau }^{\ast }\tau )$，$0=⟨v,({\tau }^{\ast }\tau )v⟩=⟨\tau v,\tau v⟩$，因此$\tau v=0$，即$v\in \ker (\tau )$。 可见反向包含成立，$\ker (\tau {\tau }^{\ast })=\ker (\tau )$。 根据命题 7.1，$\ker ({\tau }^{\ast })=\ker (({\tau }^{\ast }{)}^{\ast }{\tau }^{\ast })=\ker (\tau {\tau }^{\ast })$；

3. 结合前两条结论与$({\tau }^{\ast }\tau {)}^{\ast }={\tau }^{\ast }\tau$的事实，

   $$\mathrm{im}({\tau }^{\ast }\tau )=\ker ({\tau }^{\ast }\tau {)}^{\perp }=\ker (\tau {)}^{\perp }=\mathrm{im}({\tau }^{\ast }),\mathrm{im}(\tau {\tau }^{\ast })=\mathrm{im}(({\tau }^{\ast }{)}^{\ast })=\mathrm{im}(\tau ).$$

   (7.1.7)

4. 根据性质1和命题 3.6，$\ker (({\rho }_{S,T}{)}^{\ast })=\mathrm{im}({\rho }_{S,T}{)}^{\perp }=S^{\perp }$且$\mathrm{im}(({\rho }_{S,T}{)}^{\ast })=\ker ({\rho }_{S,T}{)}^{\perp }=T^{\perp }$。 另外，对于任意$v\in V$和$w\in W$，根据投影算子的幂等性（定理 3.10），

   $$⟨v,(({\rho }_{S,T}{)}^{\ast }{)}^{2}w⟩=⟨{\rho }_{S,T}^{2}v,w⟩=⟨{\rho }_{S,T}v,w⟩=⟨v,({\rho }_{S,T}{)}^{\ast }w⟩.$$

   (7.1.8)

   利用引理 5.1，$({\rho }_{S,T}^{\ast }{)}^2=({\rho }_{S,T}{)}^{\ast }$，因此其为投影算子，即$({\rho }_{S,T}{)}^{\ast }={\rho }_{T^{\perp },S^{\perp }}$。

容易验证在Euclidean空间或幺正空间上的共轭转置满足伴随的定义要求，那么利用伴随的唯一性，可确定矩阵伴随恰好为共轭转置。 不妨设$\mathcal{B}=(b_1,\cdots ,b_n),\mathcal{C}=(c_1,\cdots ,c_m)$，那么

因此$[{\tau }^{\ast }{]}_{\mathcal{C},\mathcal{B}}=([\tau {]}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}{)}^{\ast }$，结论得证。

1. 若表述1成立，则$\rho$幂等，并且存在子空间$S$使得$\rho ={\rho }_{S,S^{\perp }}$。 利用命题 5.5和命题 7.2，${\rho }^{\ast }={\rho }_{(S^{\perp }{)}^{\perp },S^{\perp }}={\rho }_{S,S^{\perp }}=\rho$，从而$\rho$自伴，表述2成立；

2. 若表述2成立，那么对于任意$v\in V$，$⟨v-\rho v,\rho v⟩=⟨{\rho }^{\ast }(v-\rho v),v⟩=⟨0,v⟩=0$，进而

   $${\Vert v\Vert }^2={\Vert (v-\rho v)+\rho v\Vert }^2={\Vert v-\rho v\Vert }^2+{\Vert \rho v\Vert }^2\ge {\Vert \rho v\Vert }^2⟹\Vert \rho v\Vert \le \Vert v\Vert ,$$

   (7.2.1)

   等号成立当且仅当$v=\rho v$，即$v\in \mathrm{im}(\rho )$，表述3成立；

3. 若表述3成立，则$\rho$为投影算子，并且投影定理 5.10表明，对于任意$w\in \mathrm{im}(\rho )\subseteq V$，存在$x\in \ker (\rho )$和$y\in \ker (\rho {)}^{\perp }$使得$w=x+y$，因此

   $$x+y=w=\rho w=\rho (x+y)=\rho y⟹{\Vert x\Vert }^2+{\Vert y\Vert }^2={\Vert w\Vert }^2={\Vert \rho y\Vert }^2\le {\Vert y\Vert }^2,$$

   (7.2.2)

   这要求$\Vert x\Vert =0$，即$x=0$，因此$\mathrm{im}(\rho )\subseteq \ker (\rho {)}^{\perp }$； 根据推论 4.1，$\mathrm{im}(\rho )\cong \ker (\rho {)}^{\perp }$。 若$\ker (\rho {)}^{\perp }\backslash \mathrm{im}(\rho )\ne \varnothing$，则$\dim (\mathrm{im}(\rho ))<\dim (\ker (\rho {)}^{\perp })<\infty$。 根据推论 3.2，这与两者同构的要求矛盾。 因此$\mathrm{im}(\rho )=\ker (\rho {)}^{\perp }$，根据命题 3.6，$\rho$为正交投影，表述1成立。

1. 根据定理 3.11，仅需证明当$i\ne j$时$\mathrm{im}({\rho }_i)\perp \mathrm{im}({\rho }_j)$。 对于任意$v_i\in \mathrm{im}({\rho }_i),v_j\in \mathrm{im}({\rho }_j)$，根据定理 7.2，

   $$⟨v_i,v_j⟩=⟨{\rho }_i{v}_i,{\rho }_j{v}_j⟩=⟨{\rho }_j{\rho }_i{v}_i,v_j⟩=⟨0,v_j⟩=0,$$

   (7.2.3)

   因此$⟨\mathrm{im}({\rho }_i),\mathrm{im}({\rho }_j)⟩=\left\{0\right\}$，结论得证；

2. 根据定理 3.11，仅需证明${\rho }_i$为正交投影，即$S_i^{\perp }={\odot }_{j\ne i}{S}_j$对所有$i$成立。 由于$S_j\perp S_i$对所有$j\ne i$成立，显然有${\odot }_{j\ne i}{S}_j\subseteq S_i^{\perp }$。 根据推论 4.1，$S_i^{\perp }\cong {\odot }_{j\ne i}{S}_j$，因此两者相同。

1. 根据命题 7.1，对于任意$s\in S$，

   $$(\tau {|}_S{)}^{\ast }(\tau {|}_S)s=({\tau }^{\ast }){|}_S\tau s={\tau }^{\ast }\tau s=\tau {\tau }^{\ast }s=(\tau {|}_S)(\tau {|}_S{)}^{\ast }s,$$

   (7.3.2)

   因此$\tau {|}_S$也是正规算子； 根据定义，${\tau }^{\ast }$显然是正规算子； 根据命题 7.1，$({\tau }^{-1}{)}^{\ast }({\tau }^{-1})=({\tau }^{\ast }{)}^{-1}({\tau }^{-1})=(\tau {\tau }^{\ast }{)}^{-1}=({\tau }^{\ast }\tau {)}^{-1}=({\tau }^{-1})({\tau }^{-1}{)}^{\ast }$，可见${\tau }^{-1}$是正规算子； 根据命题 7.1，通过归纳法容易证明$({\tau }^m{)}^{\ast }{\tau }^n=({\tau }^{\ast }{)}^m{\tau }^n={\tau }^n({\tau }^m{)}^{\ast }$，因此$p(\tau )$也是正规算子；

2. 对于任意$v,w\in V$，$⟨\tau v,\tau w⟩=⟨{\tau }^{\ast }\tau v,w⟩=⟨\tau {\tau }^{\ast }v,w⟩=⟨{\tau }^{\ast }v,{\tau }^{\ast }w⟩$；

3. 采用归纳法，该结论在$k=1$时显然成立。 假设结论对于$k-1$成立，显然有$\ker (\tau )\subseteq \ker ({\tau }^k)$； 对于任意$v\in \ker ({\tau }^k)$，$0={\tau }^{k}v={\tau }^{k-1}(\tau v)$，因此$\tau v\in \ker ({\tau }^{k-1})=\ker (\tau )=\ker ({\tau }^{\ast })$（性质2），即${\tau }^{\ast }\tau v=0$，从而$0=⟨{\tau }^{\ast }\tau v,v⟩$，即$v\in \ker (\tau )$。 因此$\ker ({\tau }^k)\subseteq \ker (\tau )$，反向包含成立。 那么该结论对所有整数$k\ge 1$成立；

4. 根据性质2，$v\in \ker (\tau -\lambda \iota )=\ker ((\tau -\lambda \iota {)}^{\ast })=\ker ({\tau }^{\ast }-\bar{\lambda }\iota )$，结论得证；

5. 设$v\in {\mathcal{E}}_{\lambda },w\in {\mathcal{E}}_{\mu }$，其中至少一个本征值非零。 不妨设$\lambda \ne 0$，那么结合性质5，$\lambda ⟨v,w⟩=⟨\tau v,w⟩=⟨v,{\tau }^{\ast }w⟩=⟨v,{\mu }^{\ast }w⟩=\mu ⟨v,w⟩$。 由于$\lambda \ne \mu$，要求$⟨v,w⟩=0$，而$v,w$的任意性进一步要求${\mathcal{E}}_{\lambda }\perp {\mathcal{E}}_{\mu }$。

1. 读者可结合命题 7.1自行证明该结论；

2. $Q_{\tau }(v)$对所有$v\in V$为实数当且仅当

   $$⟨\tau v,v⟩=Q_{\tau }(v)=\overline{Q_{\tau }(v)}=⟨v,\tau v⟩=⟨{\tau }^{\ast }v,v⟩⟺⟨(\tau -{\tau }^{\ast })v,v⟩=0.$$

   (7.3.4)

   若$\tau ={\tau }^{\ast }$，则上式显然成立； 反之若$Q_{\tau }(v)$为实数，那么根据命题 5.1，在复内积空间中要求${\tau }^{\ast }=\tau$；

3. 复算子情形的证明与前文基本一致。 在实数情形中，充分性是显然的； 对于必要性，设$v=x+y$，那么

   $$0=Q_{\tau }v=⟨\tau (x+y),x+y⟩=Q_{\tau }(x)+Q_{\tau }(y)+⟨\tau x,y⟩+⟨\tau y,x⟩=⟨\tau x,y⟩+⟨{\tau }^{\ast }x,y⟩=2⟨\tau x,y⟩,$$

   (7.3.5)

   因此$⟨\tau x,y⟩=0$对任意$x,y\in V$成立。 根据命题 5.1，$\tau =0$。

1. 读者可结合命题 7.1自行证明该结论；

2. 若$\tau$幺正（正交），则对于任意$u,v\in V$，$⟨\tau u,\tau v⟩=⟨{\tau }^{\ast }\tau u,v⟩=⟨u,v⟩$，因此$\tau$为等距同构； 反之$⟨{\tau }^{\ast }\tau u,v⟩=⟨u,v⟩$对任意$u,v\in V$成立，根据引理 5.1，${\tau }^{\ast }\tau u=u$对任意$u\in V$成立，即${\tau }^{\ast }\tau =\iota$。 由于$\tau$为双射，其存在逆映射，故${\tau }^{\ast }={\tau }^{-1}$，结论得证；

3. 利用$\tau$是等距同构的性质容易证明；

4. 设$\tau v=\lambda v$且$v\ne 0$，则${\left|\lambda \right|}^2⟨v,v⟩=⟨\lambda v,\lambda v⟩=⟨\tau v,\tau v⟩=⟨{\tau }^{\ast }\tau v,v⟩=⟨v,v⟩$，故$\left|\lambda \right|=1$。

1. 矩阵$A$幺正当且仅当$A{A}^{\ast }=I$，这等价于$A$的行标准正交； 类似地，$A^{\ast }A=I$等价于$A$的列标准正交；

2. 利用$1=\det (A)\det (A^{\ast })=\det (A)\overline{\det (A)}$可得到结果。

1. 必要性是显然的； 对于充分性，根据例例 7.1，存在多项式$p_i(x)$使得${\rho }_i=p_i(\tau )$，因此$\mu \leftrightarrow {\rho }_i$；

2. 必要性是显然的； 对于充分性，根据例例 7.1，存在多项式$p_i(x)$和$q_j(x)$使得${\rho }_i=p_i(\tau )$且${\nu }_j=q_j(\sigma )$，因此$\tau \leftrightarrow \sigma$；

3. 对于必要性，结论2要求$\tau \leftrightarrow \sigma$时${\rho }_i\leftrightarrow {\nu }_j$对所有$i,j$成立，因此$f(\tau )\leftrightarrow g(\sigma )$； 对于充分性，记$\Lambda =\left\{{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_k\right\}$。 由于$f:\Lambda \to F$是单射，故$f:\Lambda \to \mathrm{im}(f)$是双射，即存在逆映射$f^{-1}:\mathrm{im}(f)\to \Lambda$使得$f^{-1}(f\tau )=\tau$。 当然$f^{-1}\in F^{\Lambda }$，从而也是泛函演算，即$\tau =f^{-1}(f\tau )$是关于$f(\tau )$的多项式。 类似地，$\sigma$是关于$g(\sigma )$的多项式，从而$\tau \leftrightarrow \sigma$。

必要性是显然的； 对于充分性，不妨设$\tau$和$\sigma$的谱分解分别为${\lambda }_1{\rho }_1+\cdots +{\lambda }_k{\rho }_k$和${\mu }_1{\nu }_1+\cdots +{\mu }_m{\nu }_m$。 根据定理 7.8，$\tau \leftrightarrow \sigma$意味着${\rho }_i\leftrightarrow {\nu }_j$对所有$i,j$成立，因此

对任意双变量多项式$r(x,y)$成立。 选择合适的多项式$r(x,y)$，使得${\alpha }_{i,j}=r({\lambda }_i,{\mu }_j)$关于不同的有序对$(i,j)$不同。 那么存在唯一的$(km-1)$次多项式$p(x)$和$q(y)$，使得$p({\alpha }_{i,j})={\lambda }_i$且$q({\alpha }_{i,j})={\mu }_j$。 由于${\rho }_i\leftrightarrow {\nu }_j$，可知