拓扑基础 · 纠缠理论的数学基础

A.1拓扑的定义

定义 A.1 （拓扑）

设 $X$ 为非空集合，若 $X$ 的子集族 $T$ 满足

$\emptyset \in T$ 且 $X \in T$ ；
若 $U_{1}, U_{2} \in T$ ，则 $U_{1} \cap U_{2} \in T$ ；
若 ${U_{i} ∣ i \in I}$ 是 $T$ 的子集族，则 $\cup_{i \in I} U_{i} \in T$ ；

则称 $T$ 是 $X$ 上的一个拓扑（topology），其中每个元素称为开集（open set）。给定 $X$ 上的一个拓扑结构 $T$ ，我们称 $(X, T)$ 为一个拓扑空间（topology space）。

定义 A.2 （邻域）

设 $(X, T)$ 为拓扑空间， $x \in X$ ， $N$ 是 $X$ 的一个子集。若存在开集 $U \in T$ 使得 $x \in U \subseteq N$ ，则称集合 $N$ 为 $x$ 的一个邻域（neighborhood），相应的邻域系（family of neighborhoods）为

N (x) = {N \subseteq X ∣\exists U \in T for which x \in U and U \subseteq N} .

(A.1.1)

定义 A.3 （闭集）

设 $U$ 为拓扑空间 $(X, T)$ 的一个子集，若 $U$ 的补集 $U^{c} = X \ U$ 为开集，则称 $U$ 为闭集（close set）。

例 A.1

度量拓扑：设 $(X, d)$ 是任意度量空间， $T_{metric} = {U \subseteq X ∣\forall x \in U, \exists r > 0 for which B (x, r) \subseteq U}$ ，则 $T_{metric}$ 是 $X$ 上的一个拓扑，称为度量拓扑（metric topology）；
离散拓扑：设 $X$ 是任意集合， $T_{discrete} = P (X) = {Y ∣ Y \subseteq X}$ ，则称其为 $X$ 上的一个拓扑；并且不难发现其为关于 $X$ 上离散度量¹的度量拓扑；
平凡拓扑：设 $X$ 是任意集合， $T_{trivial} = {\emptyset, X}$ ，则其为 $X$ 上的拓扑；不过只要 $∣ X ∣ > 1$ ，那么该拓扑不是度量拓扑。

定义 A.4 （拓扑的强弱性）

设 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 是 $X$ 上的两个拓扑。若 $T_{1} \subseteq T_{2}$ ，则称 $T_{1}$ 弱于 $T_{2}$ ，或称 $T_{2}$ 强于 $T_{1}$ 。

注

在任意集合 $X$ 上， $T_{trivial}$ 是最弱拓扑，而 $T_{discrete}$ 是最强拓扑。另外，由于集合包含通常不是全序关系，也存在不可比较的拓扑。

命题 A.1 （子空间拓扑）

设 $(X, T)$ 为拓扑空间， $Y \subseteq X$ 是一个子集，则集族 $T_{Y} = {U \cap Y ∣ U \in T}$ 是 $Y$ 上的一个拓扑，称为子空间拓扑（subspace topology）。

证明

首先 $\emptyset, X \in T$ ，因此 $\emptyset = \emptyset \cap Y \in T_{Y}$ 且 $Y = X \cap Y \in T_{Y}$ ；对于任意 $V_{1}, V_{2} \in T_{Y}$ ，存在 $U_{1}, U_{2} \in T$ 使得 $V_{1} = U_{1} \cap Y, V_{2} = U_{2} \cap Y$ ，因此 $V_{1} \cap V_{2} = (U_{1} \cap U_{2}) \cap Y \in T_{Y}$ ；对于任意 ${V_{i} ∣ i \in I} \subseteq T_{Y}$ ，其中每个元素对应一个 $U_{i} \in T$ 使得 $V_{i} = U_{i} \cap Y$ ，因此 $\cup_{i \in I} V_{i} = (\cup_{i \in I} U_{i}) \cap Y \in T_{Y}$ 。综上， $T_{Y}$ 构成 $Y$ 上的一个拓扑。

命题 A.2 （乘积拓扑）

设 $(X, T_{X})$ 和 $(Y, T_{Y})$ 为拓扑空间，则

T_{X \times Y} = {W \subseteq X \times Y ∣\forall (x, y) \in W, \exists U \in T_{X} and V \in T_{Y} for which (x, y) \in U \times V \subseteq W}

(A.1.2)

是 $X \times Y$ 上的一个拓扑，称为乘积拓扑（product topology）。

证明

显然 $\emptyset, X \times Y \in T_{X \times Y}$ ；对于任意 $W_{1}, W_{2} \in T_{X \times Y}$ 以及任意 $(x, y) \in W_{1} \cap W_{2}$ ，存在 $U_{1}, U_{2} \in T_{X}$ 和 $V_{1}, V_{2} \in T_{Y}$ ，，使得 $(x, y) \in U_{1} \times V_{1} \subseteq W_{1}$ 且 $(x, y) \in U_{2} \times V_{2} \in W_{2}$ 。因此 $(x, y) \in (U_{1} \cap U_{2}) \times (V_{1} \cap V_{2}) \subseteq W_{1} \cap W_{2}$ ，即 $W_{1} \cap W_{2} \in T_{X \times Y}$ ；对于任意 ${W_{i} ∣ i \in I} \subseteq T_{X \times Y}$ 以及任意 $(x, y) \in \cup_{i \in I} W_{i}$ ，存在 $i \in I$ 使得 $(x, y) \in W_{i}$ ，即存在 $U_{i} \in T_{X}$ 和 $V_{i} \in T_{Y}$ 使得 $(x, y) \in U_{i} \times V_{i} \subseteq W_{i} \subseteq \cup_{i \in I} W_{i}$ ，因此 $\cup_{i \in I} W_{i} \in T_{X \times Y}$ 。故 $T_{X \times Y}$ 是一个拓扑。

A.2收敛性与连续性

定义 A.5 （收敛）

设 $(x_{n})$ 是拓扑空间 $(X, T)$ 中的序列。若存在 $x_{0} \in X$ ，使得对于 $x_{0}$ 的任意邻域 $N$ ，存在正整数 $k$ 使得 $x_{n} \in N$ 对所有 $n \geq k$ 成立，则称 $(x_{n})$ 收敛到 $x$ ，记作 $(x_{n}) \to x_{0}$ 。

例 A.2

度量拓扑下的收敛：按度量收敛和按度量拓扑收敛在度量空间内是一致的；
离散拓扑下的收敛：由于离散拓扑空间中的开球 $B (x, 1) = {x}$ ，容易看出 $(x_{n}) \to x_{0}$ 当且仅当存在正整数 $k$ ，使得 $x_{n} = x_{0}$ 对所有 $n \geq k$ 成立。直观地说，在离散拓扑空间内，只有“最终常值”的序列收敛；
平凡拓扑下的收敛：由于平凡拓扑空间内唯一的非空开集为集合 $X$ ，因此 $X$ 中任意序列 ${x_{n}}$ 都是收敛的，并且任意元素 $x_{0}$ 均为极限（不唯一性）。

定义 A.6 （序列连续映射）

若对于拓扑空间之间的映射 $f : (X, T_{X}) \to (Y, T_{Y})$ 与 $X$ 中任意收敛序列 $(x_{n}) \to x_{0}$ ，在 $Y$ 中均有 $(f (x_{n})) \to f (x_{0})$ ，则称 $f$ 在 $x_{0}$ 处序列连续（sequentially continuous at $x_{0}$ ）。若 $f$ 在 $X$ 中每个 $x_{0}$ 处都序列连续，则称 $f$ 为序列连续映射（sequentially continuous map）。

定义 A.7 （连续映射）

对于拓扑空间之间的映射 $f : (X, T_{X}) \to (Y, T_{Y})$ ，若 $Y$ 中点 $f (x_{0})$ 的任意邻域 $B$ 的原像 $f^{- 1} (B)$ 都是 $X$ 中点 $x_{0}$ 的邻域，则称 $f$ 在点 $x_{0}$ 处连续。若 $f$ 在 $X$ 中每个 $x_{0}$ 处均连续，则称 $f$ 为连续映射。

命题 A.3 （复合映射的连续性）

设 $X, Y, Z$ 为拓扑空间。

若 $f : X \to Y$ 和 $g : Y \to Z$ 分别在 $x_{0}$ 和 $f (x_{0})$ 处连续，则 $g \circ f : X \to Z$ 在 $x_{0}$ 处连续；
若 $f : X \to Y$ 和 $g : Y \to Z$ 分别在 $x_{0}$ 和 $f (x_{0})$ 处序列连续，则 $g \circ f : X \to Z$ 在 $x_{0}$ 处序列连续。

证明

根据(1.1.3)式，取原像的操作保持并集开集，该性质容易验证。

命题 A.4

若 $f : (X, T_{X}) \to (Y, T_{Y})$ 在 $x_{0}$ 处连续，则其在 $x_{0}$ 处序列连续。特别地，任意连续映射都是序列连续的。

证明

对于任意收敛到 $x_{0}$ 的序列 $(x_{n})$ ，在 $Y$ 中取 $f (x_{0})$ 的任意邻域 $B$ ，则 $f^{- 1} (B)$ 是 $X$ 中点 $x_{0}$ 的邻域。利用收敛性的定义，存在正整数 $k$ 使得 $x_{n} \in f^{- 1} (B)$ ，因此 $f (x_{n}) \in B$ 。

命题 A.5 （连续性的刻画）

设 $f : (X, T_{X}) \to (Y, T_{Y})$ 是一个映射，则以下表述等价：

$f$ 是连续的；
对于任意开集 $U \in T_{Y}$ ，原像 $f^{- 1} (U)$ 在 $X$ 中是开集；
对于任意闭集 $C \in T_{Y}$ ，原像 $f^{- 1} (C)$ 在 $X$ 中是闭集。

证明

容易证明表述2和表述3等价，下面证明表述1和表述2等价。

若表述1为真，对于开集 $U \subseteq T_{Y}$ ，考虑任意 $x \in f^{- 1} (U)$ ，那么 $U$ 是 $f (x)$ 的开邻域。连续性的定义要求 $f^{- 1} (U)$ 是 $f (x)$ 的邻域，因此存在开集 $V_{x} \subseteq f^{- 1} (U)$ 使得 $x \in V_{x}$ 。这表明 $f^{- 1} (U) \subseteq \cup_{x \in X} V_{x} \subseteq f^{- 1} (U)$ ，即 $f^{- 1} (U) = \cup_{x \in X} V_{x}$ 为开集，表述2为真；
若表述2为真，对于任意 $x \in X$ 对应的像 $f (x)$ 的邻域 $U$ ，存在开集 $V \subseteq U$ 使得 $f (x) \in V$ 。根据条件， $f^{- 1} (V)$ 为 $x$ 的一个开邻域，因此 $f^{- 1} (U) \supseteq f^{- 1} (V)$ 也是 $x$ 的邻域，进而 $f$ 连续，表述1为真。

定义 A.8 （开映射与闭映射）

对于拓扑空间之间的映射 $f : (X, T_{X}) \to (Y, T_{Y})$ ，

若 $X$ 中任意开集 $U$ 的像 $f (U)$ 在 $Y$ 中是开集，则称映射 $f$ 为开映射（open map）；
若 $X$ 中任意闭集 $C$ 的像 $f (C)$ 在 $Y$ 中是闭集，则称映射 $f$ 为闭映射（closed map）；

命题 A.6 （子空间的嵌入映射）

设 $(X, T_{X})$ 为拓扑空间，赋予 $A \subseteq X$ 以子空间拓扑，则包含映射 $ι : A ↪ X$ 是连续的，且子空间拓扑是 $A$ 上使得 $ι$ 连续的最弱拓扑。

证明

对于 $X$ 中任意开集 $U$ ，显然 $ι^{- 1} (U) = \emptyset$ 在子空间拓扑内；当 $ι^{- 1} (U) \neq = \emptyset$ 时，对于任意 $x \in ι^{- 1} (U) \subseteq A$ ，显然 $x = ι (x) \in U$ ，因此 $ι^{- 1} (U) \subseteq A \cap U$ ；另一方面，对于任意 $x \in A \cap U$ ， $ι (x) = x \in U$ ，即 $x \in ι^{- 1} (U)$ ，因此 $A \cap U \subseteq ι^{- 1} (U)$ 。综上， $ι^{- 1} (U) = A \cap U$ 在子空间拓扑内，因此是一个开集。根据命题 A.5， $ι$ 连续。对于 $A$ 上任意使得 $ι : (A, T) \to (X, T_{X})$ 连续的拓扑 $T$ 以及任意开集 $U \in T_{X}$ ， $ι^{- 1} (U) = A \cap U \in T$ 。那么子空间拓扑包含在 $T$ 内，即子空间拓扑是所有使得 $ι$ 连续的拓扑中最弱的。

推论 A.1

设 $(X, T_{X})$ 和 $(Y, T_{Y})$ 为拓扑空间，赋予 $A \subseteq X$ 为子空间拓扑。

若映射 $f : X \to Y$ 连续，则 $f ∣_{A} : A \to Y$ 连续；
映射 $g : Y \to A$ 是连续当且仅当 $ι \circ g : Y \to X$ 连续。

证明

根据命题 A.3和命题 A.6， $f ∣_{A} = f \circ ι$ 连续；
若 $g$ 连续，则根据命题 A.3和命题 A.6， $ι \circ g$ 连续；若 $ι \circ g$ 连续，则对于 $A$ 的任意开子集 $U$ ， $A \cap U = U$ ，进而

$(ι \circ g)^{- 1} (U) = {y \in Y ∣ (ι \circ g) (y) \in U} = {y \in Y ∣ g (y) \in ι^{- 1} (U) = A \cap U = U} = g^{- 1} (U)$
(A.2.1)

是开集，故根据命题 A.5， $g$ 连续。

命题 A.7 （乘积拓扑的投影映射）

设 $(X, T_{X})$ 和 $(Y, T_{Y})$ 为拓扑空间， $(X \times Y, T_{X \times Y})$ 为其乘积拓扑空间，则投影映射

π_{X} : X \times Y \to X, (x, y) \mapsto x,

(A.2.2)

π_{Y} : X \times Y \to Y, (x, y) \mapsto y

(A.2.3)

都是连续映射，也是开映射。

证明

根据命题 A.2，对于 $X$ 的任意开子集 $U$ ， $π_{X}^{- 1} (U) = U \times Y \in T_{X \times Y}$ ，因此 $π_{X}$ 连续；类似地 $π_{Y}$ 也连续。对于 $X \times Y$ 内的任意开集 $W \in T_{X \times Y}$ 以及任意 $x \in π_{X} (W)$ ，存在 $y \in Y$ 使得 $(x, y) \in W$ 。此时存在 $U \in T_{X}$ 和 $V \in T_{Y}$ 使得 $(x, y) \in U \times V \subseteq W$ ，因此 $x = π_{X} ((x, y)) \in π_{X} (U \times V) = U \subseteq π_{X} (W)$ 。利用 $x$ 的任意性，将 $U$ 记为 $U_{x}$ ，则 $π_{X} (W) \subseteq \cup_{x \in π_{X} (W)} U_{x} \subseteq π_{X} (W)$ ，因此 $π_{X} (W) = \cup_{x \in π_{X} (W)} U_{x}$ 为开集，从而 $π_{X}$ 为开映射。

A.3同胚

定义 A.9 （同胚）

设 $X$ 和 $Y$ 为拓扑空间，若存在可逆映射 $f : X \to Y$ 使得 $f$ 和 $f^{- 1}$ 都是连续映射，则称拓扑空间 $X$ 和 $Y$ 同胚（homeomorphic），记作 $X ≃ Y$ ；映射 $f$ 称为 $X$ 与 $Y$ 之间的同胚。在同胚下保持的性质称为拓扑性质（topological property）。

注

根据命题 A.5，集合的开性与闭性在同胚下保持，因此是最基本的拓扑性质。

命题 A.8

同胚是拓扑空间之间的等价关系。

证明

显然 $ι$ 是拓扑空间 $(X, T_{X})$ 与其自身的同胚，自反性得证；对于拓扑空间 $X ≃ Y$ ，存在同胚 $f : X \to Y$ ，因此同胚的定义要求 $f^{- 1} : Y \to X$ 也是同胚，即 $Y ≃ X$ ，对称性得证；对于拓扑空间 $X ≃ Y$ 和 $Y ≃ Z$ ，存在同胚 $f : X \to Y$ 和 $g : Y \to Z$ ，根据命题 A.3， $f \circ g : X \to Z$ 也是同胚，传递性得证。

命题 A.9

设 $f$ 是一个连续双射，若 $f$ 是开映射或闭映射，则 $f$ 是同胚。

证明

设 $f$ 是从拓扑空间 $X$ 到 $Y$ 的连续双射。当 $f$ 是开映射时，对于任意开集 $U \subseteq X$ ， $(f^{- 1})^{- 1} (U)$ 为开集。根据命题 A.5， $f^{- 1}$ 是连续映射，因此 $f$ 为同胚；当 $f$ 是闭映射时，对于任意开集 $U \subseteq X$ ， $(f^{- 1} (U))^{c} = f^{- 1} (U^{c})$ 为闭集，即 $f^{- 1} (U)$ 为开集，回到前述讨论情形。

定义 A.10 （拓扑向量空间）

设 $X$ 为实（复）向量空间，并倍赋予了一个拓扑。若加法映射

A : X \times X \to X, (x, y) \mapsto x + y,

(A.3.1)

和标量乘法映射

M : F \times X \to X, (λ, x) \mapsto λ x

(A.3.2)

在 $X \times X$ 和 $F \times X$ 上的乘积拓扑中是连续映射，则称 $X$ 为拓扑向量空间（topological vector space）。

A.4拓扑的基与子基

定义 A.11 （拓扑基）

若集族 $B \in P (X)$ 满足：

对于任意 $x \in X$ ，存在 $B \in B$ 使得 $x \in B$ ；
对于任意 $B_{1}, B_{2} \in B$ 和任意 $x \in B_{1} \cap B_{2}$ ，存在 $B \in B$ 使得 $x \in B \subseteq B_{1} \cap B_{2}$ ；

则称 $B$ 为 $X$ 的一组拓扑基（basis for a topological），并称集族

T_{B} = {U \subseteq X ∣\forall x \in U, \exists B \in B for which x \in B \subseteq U}

(A.4.1)

是由基 $B$ 生成的拓扑（topology generated by the basis $B$ ）。

注

这里我们对 $T_{B}$ 构成拓扑稍加说明：显然 $\emptyset, X \in T_{B}$ ，同时 $T_{B}$ 关于有限交集的封闭性由上述定义给出；设 ${U_{i} ∣ i \in I} \subseteq T_{B}$ 为开集族，那么对于任意 $x \in \cup_{i} U_{i}$ ，存在指标 $i$ 使得 $x \in U_{i}$ 。根据定义，存在 $B_{i} \in B$ 使得 $x \in B_{i} \subseteq U_{i} \subseteq \cup_{i} U_{i}$ ，因此 $\cup_{i} U_{i} \in T_{B}$ 。可见 $T_{B}$ 的确构成一个拓扑。

注

不同的拓扑基可以生成相同的拓扑，例如 $B_{1} = {B (x, r) ∣ x \in R^{2}, r > 0}$ 、 $B_{2} = {B (x, r) ∣ x \in Q^{2}, r \in Q_{> 0}}$ 和 $B_{3} = {(a, b) \times (c, d) ∣ a, b, c, d \in R}$ 是 $R^{2}$ 的三种不同的拓扑基，但它们生成相同的拓扑；这一点容易通过相互包含验证。另外，这三种拓扑基的基数也不尽相同，其中只有 $B_{2}$ 是可数的。

例 A.3

对于任意给定的拓扑空间 $(X_{i}, T_{i}) (i \in I)$ ，类似命题 A.2定义其乘积拓扑 $\prod_{i} X_{i} = {(x_{i}) ∣ x_{i} \in X_{i}}$ 。考虑集族 $B = {\prod_{i} U_{i} ∣ U_{i} \in T_{i}}$ 。对于任意 $x = (x_{i}) \in \prod_{i} X_{i}$ ，由于 $X_{i} \in T_{i}$ ，必有 $x_{i} \in X_{i}$ ，进而 $x \in \prod_{i} X_{i} \in B$ ；另一方面，对于任意 $B_{1} = \prod_{i} U_{i}$ 和 $B_{2} = \prod_{i} V_{i}$ ，以及任意 $x = (x_{i}) \in B_{1} \cap B_{2}$ ，根据定义， $x_{i} \in U_{i} \cap V_{i} \in T_{i}$ ，故存在 $B = \prod_{i} (U_{i} \cap V_{i}) \in B$ ，使得 $x \in B = B_{1} \cap B_{2}$ 。因此 $B$ 是 $\prod_{i} X_{i}$ 的一个拓扑基，其生成的拓扑

T_{box} = {U \subseteq i \prod X_{i} \forall (x_{i}) \in U, \exists U_{i} \in T_{i} for which (x_{i}) \in i \prod U_{i} \subseteq U}

(A.4.2)

称为 $X = \prod_{i} X_{i}$ 上的箱拓扑（box topology）。

命题 A.10

若 $B$ 是 $X$ 的一个拓扑基，那么由其生成的拓扑为 $T_{B} = {\cup_{B \in B^{'}} B ∣ B^{'} \subseteq B}$ 。

证明

根据定义，显然 $B \subseteq T_{B}$ 。那么对于任意 $B \in B^{'} \subseteq B \subseteq T_{B}$ ，均有 $\cup_{B \in B^{'}} B \in T_{B}$ ，因此 ${\cup_{B \in B^{'}} B ∣ B^{'} \subseteq B}$ ；另一方面，对于任意 $U \in T_{B}$ 以及 $U$ 内的元素 $x$ ，存在 $B_{x} \in B$ 使得 $x \in B_{x} \subseteq U$ ，那么 $U \subseteq \cup_{x \in U} B_{x} \subseteq U$ ，即 $U = \cup_{x \in U} B_{x}$ ，因此 $T_{B} \subseteq {\cup_{B \in B^{'}} B ∣ B^{'} \subseteq B}$ 。

推论 A.2

设 $B$ 为 $X$ 的一组拓扑基，拓扑 $T^{'}$ 满足 $B \subseteq T^{'}$ ，则 $T_{B} \subseteq T^{'}$ 。

证明

根据命题 A.10，对于 $T_{B}$ 内的任意元素，存在 $B^{'} \subseteq B$ 使其可表示为 $\cup_{B \in B^{'}} B$ 。因此若 $B \subseteq T^{'}$ ，则 $B \in T^{'}$ ，进而 $\cup_{B \in B^{'}} B \in T^{'}$ ，最终得到 $T_{B} \subseteq T^{'}$ 。

类似向量空间生成集的概念，我们也可以对一般子集族定义生成拓扑的概念。

定义 A.12 （生成拓扑）

对于任意 $X$ 的子集构成的族 $S \subseteq P (X)$ ，称 $X$ 上包含 $S$ 的所有拓扑的交集是由 $S$ 生成的拓扑（topology generated by $S$ ），通常记作 $T_{S}$ 。

注

容易验证拓扑的交集也是拓扑；根据定义，在使得 $S$ 中所有集合均为开集的拓扑中， $T_{S}$ 是最弱的那个。

命题 A.11

设子集族 $S \subseteq P (X)$ ，并记 $B = {B \subseteq X ∣\exists S_{1}, \dots, S_{m} \in S for which B = S_{1} \cap \dots \cap S_{m}}$ ，那么

若 $\cup_{S \in S} S = X$ ，则 $B$ 是 $X$ 的一组拓扑基，并且 $T_{S} = T_{B}$ ；
一般地，若 $X^{'} = \cup_{S \in S} S \subseteq X$ ，则 $B$ 是 $X^{'}$ 上的一组拓扑基，并且 $T_{S} = {X} \cup T_{B}$ 。

证明

我们仅对第二条性质进行证明。对于任意 $x \in X^{'}$ ，存在子集 $S \in S$ 使得 $x \in S$ ，而 $S \in B$ ；对于任意 $B_{1}, B_{2} \in B$ 和任意 $x \in B_{1} \cap B_{2}$ ，存在 $S_{1}, \dots, S_{m} \in S$ 和 $T_{1}, \dots, T_{n} \in S$ ，使得 $B_{1} = \cap_{i = 1}^{m} S_{i}$ 且 $B_{2} = \cap_{j = 1}^{n} T_{j}$ 。因此 $x \in (\cap_{i = 1}^{m} S_{i}) \cap (\cap_{j = 1}^{n} S_{i}) \subseteq B_{1} \cap B_{2}$ 。综上， $B$ 是 $X^{'}$ 的一组拓扑基。容易验证 ${X} \cup T_{B}$ 是 $X$ 上的一个拓扑，并且 $S \subseteq B \subseteq {X} \cup T_{B}$ 。根据推论 A.2， $T_{S} \subseteq {X} \cup T_{B}$ ；另一方面，显然 $B \subseteq T_{S}$ ，根据推论 A.2， $T_{B} \subseteq T_{S}$ 。由于 $T_{S}$ 是 $X$ 上的拓扑，自然有 $X \in T_{S}$ ，故 ${X} \cup T_{B} \subseteq T_{S}$ ，反向包含成立。

根据上述结论，我们可以引出拓扑子基的概念。

定义 A.13 （拓扑子基）

若集族 $S \subseteq P (X)$ 满足 $\cup_{S \in S} S = X$ ，则称 $S$ 是 $X$ 的一组拓扑子基（subbasis for a topology），称 $T_{S}$ 为由子基 $S$ 生成的拓扑（topology generated by the subbasis $S$ ）。

例 A.4

对于 $R$ 上的标准Euclidean拓扑， $B = {(a, b) ∣ a < b}$ 是一组拓扑基，而 $S = {(- \infty, a), (a, + \infty) ∣ a \in R}$ 是一组拓扑子基；
对于 $X \times Y$ 上的乘积拓扑， $B = {U \times V ∣ U \in T_{X}, V \in T_{Y}}$ 是一组拓扑基，而 $S = {U \times Y ∣ U \in T_{X}} \cup {X \times V ∣ V \in T_{Y}}$ 是一组拓扑子基。

命题 A.12 （拓扑基的判据）

设 $(X, T)$ 为拓扑空间，那么集族 $B \subseteq P (X)$ 是生成 $T$ 的一组拓扑基当且仅当 $B \subseteq T$ ，并且对于任意 $U \in T$ 和任意 $x \in U$ ，存在 $B \in B$ 使得 $x \in B \subseteq U$ 。

证明

充分性是显然的；对于必要性，拓扑基的第一条要求可通过取 $U = X$ 证明。对于任意 $B_{1}, B_{2} \in B \subseteq T$ 和任意 $x \in B_{1} \cap B_{2}$ ，首先有 $B_{1} \cap B_{2} \in T$ 。根据条件，存在 $B \in B$ 使得 $x \in B \subseteq B_{1} \cap B_{2}$ 。综上， $B$ 是 $X$ 的一组拓扑基，根据推论 A.2， $T_{B} \subseteq T$ 。另外，类似命题 A.10的证明，对于任意 $U \in T$ ， $U = \cup_{x \in U} B_{x} \in T_{B}$ ，其中 $B_{x} \in B$ 。因此 $T \subseteq T_{B}$ ，反向包含成立。

命题 A.13 （拓扑子基的判据）

设 $(X, T)$ 为拓扑空间，那么集族 $S \subseteq P (X)$ 是生成 $T$ 的一组拓扑子基当且仅当 $S \subseteq T$ ，并且对于任意 $U \in T$ 和任意 $x \in U$ ，存在 $S_{1}, \dots, S_{m} \in S$ 使得 $x \in \cap_{i = 1}^{n} S_{i} \subseteq U$ 。

证明

对于充分性，根据命题 A.11，可通过拓扑子基 $S$ 构造 $\cup_{S \in S} S = X$ 的一组拓扑基 $B$ ，使得 $T = T_{S} = T_{B}$ 。那么显然有 $S \subseteq T_{S} = T$ ；对于任意 $U \in T = T_{B}$ 和任意 $x \in U$ ，存在 $B \in B$ 使得 $x \in B \subseteq U$ 。根据命题 A.11，这里的 $B$ 为 $S$ 中有限多个集合的交集，因此充分性得证。对于必要性，根据命题 A.11，可通过拓扑子基 $S$ 构造 $X^{'} = \cup_{S \in S} S$ 的一组拓扑基 $B$ ，使得 $T_{S} = {X} \cup T_{B}$ 。根据推论 A.2， $S \subseteq T$ 意味着 $T_{S} \subseteq T$ ；对于反向包含，考虑任意 $U \in T$ 和任意 $x \in U$ ，条件表明存在 $B_{x} \in B$ 使得 $x \in B_{x} \subseteq U$ ，因此 $U \subseteq \cup_{x \in U} B_{x} \subseteq U$ ，即 $U = \cup_{x \in U} B_{x}$ 。根据命题 A.10，这意味着 $U \in T_{B}$ 对任意 $U \in T$ 成立，那么 $X \in T_{B}$ 。根据推论 A.2， $O \subseteq T_{B} = {X} \cup T_{B} = T_{S}$ 。

定理 A.1 （连续映射的刻画：拓扑基与子基）

设 $B$ 是 $T_{Y}$ 的一个拓扑基， $S$ 是 $T_{Y}$ 的一个拓扑子基，那么以下几种表述等价：

映射 $f : (X, T_{X}) \to (Y, T_{Y})$ 是连续映射；
对于任意 $B \in B$ ，其原像 $f^{- 1} (B)$ 在 $X$ 中是开集；
对于任意 $S \in S$ ，其原像 $f^{- 1} (S)$ 在 $X$ 中是开集。

A.5乘积拓扑

有了拓扑基的概念，现在我们可以重新审视命题 A.2中乘积拓扑的定义，将其定义推广到任意指标。

定义 A.14 （乘积拓扑）

设 $(X_{α}, T_{α})$ 为一族拓扑空间，称 $\prod_{α} X_{α}$ 上由子基 $S_{product} = \cup_{β} {π_{β}^{- 1} (V_{β}) ∣ V_{β} \in T_{β}}$ 生成的拓扑 $T_{product}$ 为 $\prod_{α} X_{α}$ 的乘积拓扑（product topology），其中投影映射 $π_{β} : \prod_{α} X_{α} \to X_{β}$ 将 $(x_{α})$ 映射到 $x_{β}$ 。

注

根据命题 A.13，容易验证对于两个拓扑空间，该定义可导出命题 A.2中的结果。

注

回顾例例 A.3中关于箱拓扑的定义。对于任意指标 $β$ 和 $V_{β} \in T_{β}$ ，取 $π_{β}^{- 1} (V_{β}) \in S$ 。那么对于任意 $(x_{α}) \in π_{β}^{- 1} (V_{β})$ ，分量 $x_{β} \in V_{β} \subseteq X_{β}$ ，其余分量 $x_{α} \in X_{α} (α \neq = β)$ ，因此 $(x_{α}) \in π_{β}^{- 1} (V_{β})$ ，即 $S \subseteq T_{box}$ 。根据推论 A.2， $T_{product} \subseteq T_{box}$ ，即乘积拓扑弱于箱拓扑。尽管乘积拓扑不如箱拓扑那样自然，但事实证明前者更重要：乘积具有很多良好的拓扑性质，而箱拓扑在拓扑学中被广泛用作反例。当然，对于有限乘积空间，这两种拓扑相同。

在此定义下，我们可以得到类似命题 A.7的结论。

命题 A.14

设 $(X_{α}, T_{α})$ 为一族拓扑空间，那么无论赋予 $\prod_{α} X_{α}$ 是乘积拓扑还是箱拓扑，对于任意指标 $β$ ，投影映射 $π_{β} : \prod_{α} X_{α} \to X_{β}$ 都是连续的开映射。

证明

由于 $T_{product} \subseteq T_{box}$ ，对于任意 $V_{β} \in T_{β}$ ，只要 $π_{β}^{- 1} (V_{β}) \in T_{product}$ 就有 $π_{β}^{- 1} (V_{β}) \in T_{box}$ ，因此仅需在 $T_{product}$ 中证明映射的连续性；类似地，仅需在 $T_{box}$ 中证明 $π_{β}$ 为开映射。前者是显然的；对于后者，回顾箱拓扑的定义式(A.4.2)，对于任意开集 $U \in T_{box}$ 以及任意 $(x_{α}) \in U$ ，存在 $U_{α} \in T_{α}$ 使得 $(x_{α}) \in \prod_{α} U_{α} \subseteq U$ ，因此 $x_{β} = π_{β} ((x_{α})) \in U_{β} \subseteq π_{β} (U)$ 。利用 $x$ 的任意性，可知 $π_{β} (U)$ 为开集，即 $π_{β}$ 为开映射。

命题 A.15 （乘积拓扑的刻画）

乘积拓扑 $T_{product}$ 是在 $\prod_{α} X_{α}$ 上使得所有投影映射 $π_{β}$ 都连续的拓扑中最弱的拓扑。

证明

$π_{η}$ 关于 $T_{product}$ 的连续性源于命题 A.14。设 $T$ 为在 $\prod_{α} X_{α}$ 使得所有典范投影 $π_{β}$ 均连续的拓扑。那么根据命题 A.5，对于任意 $V_{β} \in T_{β}$ ， $π^{- 1} (V_{β}) \in T$ ，这意味着 $S_{product} \subseteq T$ 。根据推论 A.2， $T_{product} \subseteq T$ 。

定理 A.2 （乘积拓扑的泛性质）

设 $X$ 和每个 $X_{α}$ 均为拓扑空间，赋予空间 $\prod_{α} X_{α}$ 以乘积拓扑。定义映射 $f : X \to \prod_{α} X_{α}$ 为 $f (x) = (f_{α} (x))$ ，则 $f$ 是连续映射当且仅当所有 $f_{α} = π_{α} \circ f$ 都是连续映射。此外，乘积拓扑是 $\prod_{α} X_{α}$ 上唯一满足此性质的拓扑。

证明

若 $f$ 连续，那么利用 $π_{β}$ 的连续性（命题 A.14）和复合映射的连续性（命题 A.3）， $f_{α} = π_{α} \circ f$ 也是连续的；若 $f_{α}$ 连续，那么对于任意 $V_{β} \in T_{β}$ 和相应子基 $π_{β}^{- 1} (V_{β})$ ，

f^{- 1} (π_{β}^{- 1} (V_{β})) = {x \in X f (x) \in π_{β}^{- 1} (V_{β})} = {x \in X ∣ (π_{β} \circ f) (x) \in V_{β}} = f_{β}^{- 1} (V_{β}) \in T_{X},

(A.5.1)

根据命题 A.5，此时 $f$ 也是连续映射。泛性质的证明从略。

注

事实上，箱拓扑就是上述不满足泛性质的一例。例如设 $X = R^{N}$ ，定义映射 $f : R \to R^{N}$ 为 $f (t) = (t, t, \dots)$ ，那么 $f$ 的每个分量都是 $R$ 上元素 $t$ 到其自身的恒等映射，从而 $f$ 的每个分量都连续；但是如果赋予 $X$ 以箱拓扑，那么 $(- 1, 1) \times (- 1/2, 1/2) \times \dots$ 在箱拓扑中是开集，但其原像 ${0}$ 不是 $X$ 中的开集。

A.6诱导拓扑

事实上，我们可以从命题 A.1中的子空间拓扑和命题 A.15中乘积拓扑的刻画中得到启发，利用“使得给定映射都连续的最弱拓扑”的特征，在原像空间上构造一个新的拓扑。这就是诱导拓扑。

定义 A.15 （诱导拓扑）

设 $(Y_{α}, T_{α})$ 为一族拓扑空间， $F = {f_{α} ∣ X \to (Y_{α}, T_{α})}$ 是一族映射，那么在 $X$ 上使得所有 $f_{α}$ 都是连续映射的拓扑中，最弱的拓扑 $T_{F}$ 称为 $X$ 的 $F$ -诱导拓扑（ $F$ -induced topology）或弱拓扑（weak topology）。

注

如果赋予 $X$ 最强的拓扑，即离散拓扑，则任何映射 $f_{α} : (X, T_{discrete}) \to (Y_{α}, T_{α})$ 都是连续的，该情形平凡。考虑在 $X$ 上的一族拓扑 ${T_{β}}$ ，若该拓扑族使得每个 $f_{α}$ 关于每个 $T_{β}$ 连续，那么 $T = \cap_{β} T_{β}$ 也是 $X$ 上的一个拓扑，并且 $f_{α}$ 关于 $T$ 连续。因此，在 $X$ 上存在唯一一个最弱拓扑，使得每个 $f_{α}$ 连续；
事实上， $T_{F}$ 是由子基 $S_{F} = \cup_{α} {f_{α}^{- 1} (V_{α}) ∣ V_{α} \in T_{α}}$ 生成的拓扑：首先对于任意 $f_{α} \in F$ 和任意 $V_{α} \in T_{α}$ ，定义要求 $f_{α}^{- 1} (V_{α}) \in T_{F}$ ，因此 $S_{F} \subseteq T_{F}$ ，进而推论 A.2要求 $T_{S} \subseteq T_{F}$ ；其次 $f_{α}^{- 1} (V_{α}) \in S_{F}$ 对所有 $α$ 成立，这意味着包含 $S_{F}$ 的拓扑是使得 $F$ 连续的拓扑，从而 $T_{F} \subseteq T_{S}$ 。综上， $T_{F} = T_{S}$ 。

命题 A.16 （诱导拓扑的泛性质）

设 $(Y_{α}, T_{α})$ 为一族拓扑空间， $F = {f_{α} ∣ X \to (Y_{α}, T_{α})}$ 为一族映射。赋予 $X$ 以 $F$ -诱导拓扑，那么对于任意拓扑空间 $Z$ ，映射 $f : Z \to X$ 连续当且仅当所有 $f_{α} \circ f : Z \to Y_{α}$ 均连续。此外， $F$ -诱导拓扑是 $X$ 上唯一满足该性质的拓扑。

证明

若映射 $f : Z \to X$ ，则由复合函数的连续性（命题 A.3）， $f_{α} \circ f$ 也是连续的；反之若 $f_{α} \circ f$ 连续，则对于每个拓扑子基 $f_{β}^{- 1} (V_{β})$ ， $f^{- 1} (f_{β}^{- 1} (V_{β})) = (f_{β} \circ f)^{- 1} (V_{β}) \in T_{F}$ 。根据命题 A.5， $f$ 连续。泛性质的证明从略。

例 A.5

作为诱导拓扑的度量拓扑：对于任意度量空间 $(X, d)$ ，度量拓扑是由所有度量球 ${B (x, r) ∣ x \in X, r > 0}$ 生成的；换言之，度量拓扑是由映射族 ${d_{x} ∣ x \in X}$ 生成的诱导拓扑，其中 $d_{x} : X \to R$ 定义为 $d_{x} (y) = d (x, y)$ ；
弱拓扑和弱- $*$ 拓扑：设 $X$ 为拓扑向量空间， $X^{*}$ 为其对偶空间。此时可以在 $X$ 上定义一个新的拓扑，同时在 $X^{*}$ 上定义一个自然的拓扑：
1. $X$ 上的弱拓扑（weak topology）是 $X^{*}$ 生成的诱导拓扑，即 $X$ 上所有使得 $f \in X^{*}$ 连续的拓扑中最弱的拓扑，因此 $X$ 上的弱拓扑比 $X$ 上的原始拓扑更弱；
2. $X^{*}$ -上的弱- $*$ 拓扑（weak- $*$ topology）是由 ${e v_{x} ∣ x \in X}$ ，即使得 $X^{*}$ 上所有赋值映射 $e v_{x} : X^{*} \to R, l \mapsto l (x)$ 都连续的拓扑中最弱的拓扑。

对于任意 $x, y \in X$ ，离散度量将有序对 $(x, y)$ 映射到 $δ_{x, y}$ 。